import numpy as np
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
import ipywidgets as widgets
from maux import *
hide_interactive_toolbars()

# interaktívny editor pre vyšetrovanie priebehu elementárnych funkcií
from jedit import editor
np.warnings.filterwarnings('ignore', category=np.VisibleDeprecationWarning) 

# nastavenie jazyka
from locale import setlocale, LC_ALL
from platform import uname
if uname()[0] == 'Linux':
    setlocale(LC_ALL, 'sk_SK.utf8')
else:
    setlocale(LC_ALL, 'sk_SK')
plt.rcParams["axes.formatter.use_locale"] = True

Polynomiálne funkcie

Polynomiálna funkcia je určená rovnicou $$y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$$ kde $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ sú reálne čísla. Definičným oborom je množina reálnych čísel. Konštantné, lineárne a kvadratické funkcie sú špeciálnym prípadom polynomiálnych funkcií.

• Wikipédia
• Wikipedia

Úvodný príklad

Nakreslenie grafu polynomiálnej funkcie danej rovnicou $$y = 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2.$$

#####
##### nakreslenie grafu funkcie
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return 2 * X ** 4 - 7 * X ** 3 + 5 * X ** 2 + 3 * X - 2 # ufunc verzia funkcie
X = np.linspace(-0.70, 2.20, 29*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(7, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Graf funkcie $y = 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2$") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť

## graf funkcie
ax.plot(X, Y)

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Pokračovanie predchadzajúceho príkladu

Vyšetrenie priebehu polynomiálnej funkcie danej rovnicou $$y = 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2.$$ Tu nás zaujímajú tieto informácie:

• Nulové body funkcie.
• Nájdenie extrémov funkcie.
• Nájdenie intervalov, na ktorých je funkcia monotónna.

Ukážeme si dva spôsoby, ako vyšetriť priebeh funkcie. Preferujeme ten, ktorý používa algebraické argumenty.

Numerické riešenie

Presnosť tejto metódy závisí od jemnosti delenia základného intervalu, tu reprezentovaného poľom X. Čím je delenie intervalu jemnejšie, tým je presnosť získaných údajov lepšia.

Funkcia má na zvolenom intervale štyri nulové body, Ich približné x-ové súradnice vypočítame takto:

>>> X[np.abs(f(X)) <= 0.001]

Výsledok je array([-0.618, 0.5 , 1.618, 2. ]).

Funkcia nadobúda ostré minimum na intervale $\left\langle -\frac{1}{2}, 0 \right\rangle$. Jeho približnú x-ovú súradnicu vypočítame takto:

>>> I = X[(X >= -1/2) & (X <= 0)]
>>> I[f(I).argmin()]

Výsledok po zaúkrohlení je -0.205.

Funkcia nadobúda ostré lokálne minimum na intervale $\left\langle \frac{3}{2}, 2 \right\rangle$. Jeho približnú x-ovú súradnicu vypočítame takto:

>>> I = X[(X >= 3/2) & (X <= 2)]
>>> I[f(I).argmin()]

Výsledok po zaúkrohlení je 1.83.

Súradnice ostatných význačných bodov sú zrejmé z obrázka.

Ako alternatívnu metódu doporučujeme použiť interaktívny editor pre vyšetrovanie priebehu elementárnych funkcií. Príkaz potrebný pre inicializáciu editora má tvar

>>> editor(figure=fig, axes=ax, function=f, intervals=[X])

Používanie interaktívneho prostredia je intuitívne zrejmé. Autorom editora je náš bývalý študent Juraj Vetrák. Je to upravená verzia softvéru z jeho bakalárskej práce. Spätná väzba je vždy vítaná. Ak narazite na nejaký problém, ozvite sa.

editor(figure=fig, axes=ax, function=f, intervals=[X])

#####
##### vyšetrenie priebehu funkcie (numerické riešenie)
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return 2 * X ** 4 - 7 * X ** 3 + 5 * X ** 2 + 3 * X - 2 # ufunc verzia funkcie
X = np.linspace(-0.70, 2.20, 29*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(7, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Priebeh funkcie $y = 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2$") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
ax.grid() # pravoúhla sieť

## nulové body funkcie
ax.plot([(1-np.sqrt(5))/2, 1/2, (1+np.sqrt(5))/2, 2], [0, 0, 0, 0], 'kx', label=r"nulové body $-0,\!618$, $\frac{1}{2}$, $1,\!618$ a $2$")

## x-ové súradnice extrémov funkcie vrátane krajných bodov základného intervalu
ps = [X[0], -0.205, 1, 1.83, X[-1]]

## extrémy funkcie
ax.plot(ps[1], f(ps[1]), 'o', label=r"ostré minimum v bode $-0,\!205$")
ax.plot(ps[2], f(ps[2]), 'o', label=r"ostré lokálne maximum")
ax.plot(ps[3], f(ps[3]), 'o', label=r"ostré lokálne minimum v bode $1,\!83$")

## intervaly, na ktorých je funkcia klesajúca
color = ax.plot([], [], label=r"klesajúca")[0].get_color()
for i in [0, 2]:
    I = X[(ps[i] <= X) & (X <= ps[i+1])]
    ax.plot(I, f(I), c=color, zorder=1)

## intervaly, na ktorých je funkcia rastúca
color = ax.plot([], [], label=r"rastúca")[0].get_color()
for i in [1, 3]:
    I = X[(ps[i] <= X) & (X <= ps[i+1])]
    ax.plot(I, f(I), c=color, zorder=1)

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Algebraické riešenie

Dva nulové body sú zrejmé z obrázka. Sú to čísla $\frac{1}{2}$ a $2$. Zvyšné dva nulové body získame touto úpravou $$ 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2 = (x-2)(2x^3-3x^2-x+1) = (x-2)(2x-1)(x^2-x-1) = (x-2)(2x-1)\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right). $$ Nulové body funkcie sú tak čísla $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ a $2$.

Jeden extrém funkcie je zrejmý z obrázka. Je to ostré lokálne maximum v bode $1$. Zvyšné dva extrémy nájdeme pomocou jej derivácie $y'$. Je to funkcia definovaná predpisom $$y'(x) = 8x^3-21x^2+10x+3.$$ V bodoch, kde nadobúda funkcia lokálny extrém, je jej derivácia nulová. Jeden nulový bod derivácie už poznáme, je ním číslo $1$. Ostatné nulové body získame touto úpravou $$ 8x^3-21x^2+10x+3 = (x-1)(8x^2-13x-3) = 8(x-1)\left(x-\frac{13+\sqrt{265}}{16}\right)\left(x-\frac{13-\sqrt{265}}{16}\right). $$ Funkcia tak nadobúda extrémy v týchto bodoch $\frac{13-\sqrt{265}}{16}$, $1$ a $\frac{13+\sqrt{265}}{16}$.

Poznámka. Nasledujúci obrázok obsahuje graf derivácie $y'$. Všimnime si, že tentokrát sme použili inú mierku pre každú zo súradnicových osí.

#####
##### vyšetrenie priebehu funkcie (algebraické riešenie)
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return 2 * X ** 4 - 7 * X ** 3 + 5 * X ** 2 + 3 * X - 2 # ufunc verzia funkcie
X = np.linspace(-0.70, 2.20, 29*100+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(7, 9) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Priebeh funkcie $y = 2x^4-7x^3+5x^2+3x-2$") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
ax.grid() # pravoúhla sieť

## nulové body funkcie
ax.plot([(1-np.sqrt(5))/2, 1/2, (1+np.sqrt(5))/2, 2], [0, 0, 0, 0], 'kx', label=r"nulové body $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ a $2$")

## x-ové súradnice extrémov funkcie vrátane krajných bodov základného intervalu
ps = [X[0], (13-np.sqrt(265))/16, 1, (13+np.sqrt(265))/16, X[-1]]

## extrémy funkcie
ax.plot(ps[1], f(ps[1]), 'o', label=r"ostré minimum v bode $\frac{13-\sqrt{265}}{16}$")
ax.plot(ps[2], f(ps[2]), 'o', label=r"ostré lokálne maximum")
ax.plot(ps[3], f(ps[3]), 'o', label=r"ostré lokálne minimum v bode $\frac{13+\sqrt{265}}{16}$")

## intervaly, na ktorých je funkcia klesajúca
color = ax.plot([], [], label=r"klesajúca")[0].get_color()
for i in [0, 2]:
    I = X[(ps[i] <= X) & (X <= ps[i+1])]
    ax.plot(I, f(I), c=color, zorder=1)

## intervaly, na ktorých je funkcia rastúca
color = ax.plot([], [], label=r"rastúca")[0].get_color()
for i in [1, 3]:
    I = X[(ps[i] <= X) & (X <= ps[i+1])]
    ax.plot(I, f(I), c=color, zorder=1)

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Pokyny pre nasledujúce príklady

V nasledujúcich príkladoch budeme kresliť grafy a vyšetrovať priebeh polynomiálnych funkcií. Pretože tieto funkcie majú neohraničený definičný obor, budeme pri zostrojovaní grafu každej takejto funkcie vykreslovať len jej zaujímavú časť. Pri vyšetrovani priebehu týchto funkcií treba určiť:

• Nulové body funkcie.
• Extrémy funkcie.
• Intervaly, na ktorých je funkcia monotónna.

Preferujeme algebraickú metódu pri hľadaní význačných bodov. Súradnice význačných bodov, ktoré sú zrejmé z grafu, netreba explicitne uvádzať.

Doporučujeme rozdeliť riešenie do dvoch častí:

• V prvom obrázku nakreslite graf funkcie.
• V druhom obrázku vyšetrite jej priebeh.

#####
##### šablóna riešenia I (nakreslenie grafu a vyšetrenie priebehu funkcie)
#####

#### vstupné údaje
# def f(X): return None # ufunc verzia funkcie
# X = np.linspace(None, None, None+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
# Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
# fig, ax = plt.subplots()
# fig.set_size_inches(6, 4) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
# init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
# ax.set_title(r"Graf funkcie $y = \cdots$") # pomenovanie diagramu
# ax.set_title(r"Priebeh funkcie $y = \cdots$") # pomenovanie diagramu
# ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť

## graf funkcie
# ax.plot(X, Y)

## nulové body funkcie
# ax.plot(None, 0, 'kx', label=r"nulový bod $?$")

## extrémy funkcie
# ax.plot(None, f(None), 'o', label=r"extrém v bode $?$")

## monotónnosť funkcie
# X1 = X[(None <= X) & (X <= None)] # interval, na ktorom je funkcia monotónna
# ax.plot(X1, f(X1), label=r"monotónna", zorder=1)

## legenda
# ax.legend()
# ax.legend(loc='center') # umiestenie v strede diagramu

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
# fig.show()

#### editor
# editor(figure=fig, axes=ax, function=f, intervals=[X])

#####
##### šablóna riešenia II (nakreslenie grafu a vyšetrenie priebehu funkcie)
#####

#### vstupné údaje
# def f(X): return None # ufunc verzia funkcie
# X = np.linspace(None, None, None+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
# Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
# fig, ax = plt.subplots()
# fig.set_size_inches(6, 4) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
# init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
# ax.set_title(r"Graf funkcie $y = \cdots$") # pomenovanie diagramu
# ax.set_title(r"Priebeh funkcie $y = \cdots$") # pomenovanie diagramu
# ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť

## graf funkcie
# ax.plot(X, Y)

## nulové body funkcie
# ax.plot(None, 0, 'kx', label=r"nulový bod $?$")

## x-ové súradnice extrémov funkcie vrátane krajných bodov základného intervalu
# ps = [X[0], None, X[-1]]

## extrémy funkcie
# ax.plot(None, f(None), 'o', label=r"extrém v bode $?$")

## intervaly, na ktorých je funkcia monotónna
# color = ax.plot([], [], label=r"monotónna")[0].get_color()
# for i in None:
#     I = X[(ps[i] <= X) & (X <= ps[i+1])]
#     ax.plot(I, f(I), c=color, zorder=1)
 
## legenda
# ax.legend()
# ax.legend(loc='center') # umiestenie v strede diagramu

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
# fig.show()

#### editor
# editor(figure=fig, axes=ax, function=f, intervals=[X])

Úloha

Nakreslite grafy a vyšetrite priebeh týchto funkcií $$y = x^3+3x^2-9x-10,$$ $$y = x^4-4x^3,$$ $$y = x^4-x^2-2,$$ $$y = x^4-2x^2,$$ $$y = x^3-x.$$

Úloha (4 body)

Nakreslite graf a vyšetrite priebeh funkcie $$y = -2x^3+3x^2+x-1.$$ Návod. Derivácia $y'$ funkcie ma tento predpis $$y'(x) = -6x^2+6x+1.$$

Úloha (4 body)

Nakreslite graf a vyšetrite priebeh funkcie $$y = -x^4-2x^3+3x^2+4x.$$ Návod. Derivácia $y'$ funkcie ma tento predpis $$y'(x) = -4x^3-6x^2+6x+4.$$

Poznámka

V nasledujúcom príklade si ukážeme, ako kresliť grafy parametrických systémov polynomiálnych funkcií. Vykreslenie sa deje pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

Dokumentácia:

• Domovská stránka projektu Jupyter Widgets

Interaktívny príklad

Nakreslenie grafu kubickej funkcie danej rovnicou v štandardnom tvare $$y = ax^3+bx^2+cx+d$$ pre vybrané hodnoty parametrov $a,b,c,d$.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií (interaktívna verzia)
#####

#### vstupné údaje
def f(X, a, b, c, d): return a * X ** 3 + b * X ** 2 + c * X + d
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 9)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.grid()

## graf funkcie y = ax³+bx²+cx+d
def plot_graph(a, b, c, d):
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = {0}{{x}}^3+{1}{{x}}^2+{2}{{x}}+{3}$".format(a, b, c, d))
    if ax.lines:
        ax.lines[0].set_ydata(f(X, a, b, c, d))
    else:
        ax.plot(X, f(X, 1, 0, 0, 0))

widgets.interact(plot_graph,
                 a=widgets.FloatSlider(min=-2, max=2, value=1, step=0.1),
                 b=widgets.FloatSlider(min=-2, max=2, value=0, step=0.1),
                 c=widgets.FloatSlider(min=-2, max=2, value=0, step=0.1),
                 d=widgets.FloatSlider(min=-2, max=2, value=0, step=0.1),
                )

### samotné zobrazenie
fig.show()